Question

平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P（2，a）為圓心的⊙P與y軸相切，直線y=x與⊙P相交于點(diǎn)A、B，且AB的長(zhǎng)為2

3

，則a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),垂徑定理,切線的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，連接PC，則有PC⊥OC，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得⊙P的半徑PC為2，由于滿足條件的點(diǎn)P可能在直線y=x的上方，也可能在直線y=x的下方，因此需分兩種情況討論．當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x上方時(shí)，如圖1，連接CP并延長(zhǎng)交直線y=x于點(diǎn)E，則有CE=OC．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，由垂徑定理可求出AD，在Rt△ADP中，運(yùn)用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，運(yùn)用三角函數(shù)可求出PE，就可求出a的值；當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x下方時(shí)，如圖2，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=

2

．易證四邊形PCOM是矩形，從而有OM=PC=2，OC=PM，進(jìn)而可以求出a的值，問(wèn)題得以解決．

解答：解：設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，連接PC，則有PC⊥OC．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，a），∴PC=2．
①若點(diǎn)P在直線y=x上方，如圖1，
連接CP并延長(zhǎng)交直線y=x于點(diǎn)E，則有CE=OC．
∵CE⊥OC，CE=OC，
∴∠COE=∠CEO=45°．
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
由垂徑定理可得：AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

．
在Rt△ADP中，
PD=

PA2-AD2

=

22-( 3 )2

=1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED=

PD

PE

=

1

PE

=

2

2

，
解得：PE=

2

．
∴OC=CE=CP+PE=2+

2

．
∴a=2+

2

．
②若點(diǎn)P在直線y=x下方，如圖2，
連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=

2

．
∵∠PCO=∠COM=∠PMO=90°，
∴四邊形PCOM是矩形．
∴OM=PC=2，OC=PM．
∴OC=PM=MN-PN=OM-PN=2-

2

．
∴a=2-

2

．
故答案為：2+

2

或2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，還考查了分類討論的思想，是一道易錯(cuò)題．