Question

如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接FM、MN、FN，過ΔFMN三邊的中點(diǎn)作ΔPQW．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．試解答下列問題：

（1）說明ΔFMN∽ΔQWP；

（2）設(shè)0≤x≤4．試問x為何值時(shí)，ΔPQW為直角三角形？

（3）試用含的代數(shù)式表示MN2，并求當(dāng)x為何值時(shí)，MN2最�。壳蟠藭r(shí)MN2的值．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明略

（2）當(dāng)或時(shí)，ΔPQW為直角三角形

（3）2

【解析】解：（1）由題意可知P、W、Q分別是ΔFMN三邊的中點(diǎn)，

∴PW是ΔFMN的中位線，即PW∥MN

∴ΔFMN∽ΔQWP------3分

(2)由(1)得，ΔFMN∽ΔQWP，故當(dāng)ΔQWP為直角三角形時(shí)，ΔFMN為直角三角形，反之亦然.

由題意可得  DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，

由勾股定理分別得  =，=+，=+16-----5分

①當(dāng)=+時(shí)，+=++

解得  -----6分

②當(dāng)=+時(shí)，+=++

此方程無實(shí)數(shù)根----7分

③=+時(shí)，=+++

解得  （不合題意，舍去），------8分

綜上，當(dāng)或時(shí)，ΔPQW為直角三角形；------9分

（3）①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN≥AN，AN=6-x，

故只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，MN2的值也最小,此時(shí)MN=2，MN2=4 -----10分

②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，=+=+

=

當(dāng)x=5時(shí)，MN2取得最小值2，

∴當(dāng)x=5時(shí)， MN２的值最小，此時(shí)MN２=2．-------12分