Question

如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=

1

x

（x＞0）上一個(gè)點(diǎn)，連接OA，作OB⊥OA，且AO：BO=1：2．
（1）在雙曲線上多次改變A點(diǎn)的位置，得到相應(yīng)的B點(diǎn)，用平滑的曲線把這些B點(diǎn)連接起來，觀察猜想這條曲線的形狀，并求B點(diǎn)縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式；
（2）過A點(diǎn)作y軸垂線MA，過B點(diǎn)作x軸垂線BN，MA與BN交于P點(diǎn)，BN交雙曲線y=

1

x

（x＞0）于C點(diǎn)（C點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)），連接AC，在圖2中畫出示意圖并證明：∠PAC=∠ABO．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)A（a，

1

a

），B（x，y），作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，利用△OCA∽△ODB，即可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)A（a，

1

a

），B（x，-

4

x

），C（x，

1

x

），可得出P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

a

-

1

x

），證出△APC∽△BOA，即可得出∠PAC=∠ABO．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)A（a，

1

a

），B（x，y），

作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，
∵OB⊥OA，
∴△OCA∽△ODB，
∴

OC

OD

=

OA

OB

，

AC

BD

=

OA

OB

，即

a

-y

=

1

2

，

1 a

x

=

1

2

∴

a

-y

×

1 a

x

=

1

2

×

1

2

，即y=-

4

x

．
（2）如圖2，設(shè)A（a，

1

a

），B（x，-

4

x

），C（x，

1

x

），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

a

-

1

x

）
∵AO：BO=1：2，

PC

AP

=

1 a - 1 x

x-a

=

1

ax

=

1

2

，
∴

AO

BO

=

PC

AP

，∠APC=∠BOA，
∴△APC∽△BOA，
∴∠PAC=∠ABO．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用三角形相似的判定與性質(zhì)求解．