Question

已知：如圖，直線l：y=-x-1，一組可由平移變換得到的拋物線的頂點(diǎn)為B₁，B₂、B₃、…B_n（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數(shù)），其中x₁=0，x₂=2，則x₃=

 

；B₈的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)拋物線的對稱性得B₁的橫坐標(biāo)為1，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得B₁的坐標(biāo)為（1，-2），設(shè)頂點(diǎn)為B₁的拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，把A₁（0，0）代入可得到a=2，由于所有拋物線都是經(jīng)過平移得到，則設(shè)頂點(diǎn)為B₂的拋物線解析式為y=2（x-m）²+n，再把A₂（2，0）代入得2（2-m）²+n=0，且n=-m-1，解方程組得到m=

7

2

，n=-

9

2

，則頂點(diǎn)為B₂的拋物線解析式為y=2（x-

7

2

）²-

9

2

，然后令y=0得2（x-

7

2

）²-

9

2

=0，解得x=2或5，于是得到A₃（5，0），即x₃=5；利用同樣的方法可得到A₄（9，0），由此可得到后面的點(diǎn)比前面點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加的數(shù)為角標(biāo)數(shù)，于是可得A₅（14，0），A₆（20，0），A₇（27，0），A₈（35，0），A₉（44，0），利用頂點(diǎn)為B₈的拋物線經(jīng)過A₈（35，0），A₉（44，0），根據(jù)對稱性先計(jì)算出B₈的橫坐標(biāo)為39.5，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算出它的縱坐標(biāo)．

解答：解：∵A₁（0，0），A₂（2，0），
∴B₁的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)x=1時，y=-x-1=-2，則B₁的坐標(biāo)為（1，-2），
設(shè)頂點(diǎn)為B₁的拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，
把A₁（0，0）代入得a-2=0，解得a=2，
∴頂點(diǎn)為B₁的拋物線解析式為y=2（x-1）²-2，
設(shè)頂點(diǎn)為B₂的拋物線解析式為y=2（x-m）²+n，
把A₂（2，0）代入得2（2-m）²+n=0，
∵n=-m-1，
∴2（2-m）²-m-1=0，
整理得2m²-9m+7=0，解得m₁=

7

2

，m₂=1（舍去），
∴n=-

7

2

-1=-

9

2

∴頂點(diǎn)為B₂的拋物線解析式為y=2（x-

7

2

）²-

9

2

，
當(dāng)y=0時，2（x-

7

2

）²-

9

2

=0，解得x=2或5，
∴A₃（5，0），即x₃=5；
設(shè)頂點(diǎn)為B₃的拋物線解析式為y=2（x-t）²+k，
把A₃（5，0）代入得2（5-t）²+k=0，
∵k=-t-1，
∴2（5-t）²-t-1=0，
整理得2t²-21t+49=0，解得t₁=

7

2

（舍去），t₂=7，
∴k=-7-1=-8，
∴頂點(diǎn)為B₂的拋物線解析式為y=2（x-7）²-8，
當(dāng)y=0時，2（x-

7

2

）²-

9

2

=0，解得x=5或9，
∴A₄（9，0），
∴A₅（14，0），A₆（20，0），A₇（27，0），A₈（35，0），A₉（44，0），
∵頂點(diǎn)為B₈的拋物線經(jīng)過A₈（35，0），A₉（44，0），
∴B₈的橫坐標(biāo)為

35+44

2

=39.5，
當(dāng)x=39.5時，y=-x-1=-40.5，
∴B₈的坐標(biāo)為（39.5，-40.5）．
故答案為5；（39.5，-40.5）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．