Question

16．如圖，直線y=$\frac{4}{3}$x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，OB與x軸正半軸的夾角為α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）用直線求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，4），反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{12}{x}$，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x，$\frac{12}{x}$），tanα=$\frac{1}{3}$，得出$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，x=6，得出B點(diǎn)坐標(biāo)（6，2）；
（2）過A點(diǎn)做AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)C，將三角形OAB分為兩個(gè)三角形，分別求解即可．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），
∴A（3，4），
反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{12}{x}$，
∵點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，
設(shè)B（x，$\frac{12}{x}$），
∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\frac{12}{x}}{x}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x=±6，
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴x=6，
∴B（6，2）．
答：點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，2）．

（2）設(shè)直線OB為y=kx，（k≠0），
將點(diǎn)B（6，2）代入得：k=$\frac{1}{3}$，
∴OB直線解析式為：y=$\frac{1}{3}$x，
過A點(diǎn)做AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)C，如下圖：

則點(diǎn)C坐標(biāo)為：（3，1），
∴AC=3
S_{△OAB的面積}
=S_{△OAC的面積}+S_{△ACB的面積}，
=$\frac{1}{2}$×|AC|×6
=9．
△OAB的面積為9．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的基本性質(zhì)．求函數(shù)解析式及函數(shù)交點(diǎn)是函數(shù)常見問題．題目整體較為簡(jiǎn)單，學(xué)生在解決（2）中的面積問題可以利用多種方法求解．