Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=x²從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線AB交于點(diǎn)P，拋物線的頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．
（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；并求出此時(shí)拋物線的解析式．
（3）在②前提下，在直線AB上是否存在點(diǎn)N，使△PMN是等腰三角形？若存在，直接寫出滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）探究：當(dāng)線段PB最短時(shí)，在相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q（與P不重合），使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于直線OA是正比例函數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可確定該直線的解析式．
（2）①根據(jù)直線OA的解析式，可用m表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出平移后的拋物線解析式，然后將x=2代入平移后的拋物線解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可為線段PB的長，可利用配方法求得PB的最小值及對(duì)應(yīng)的m的值，從而確定平移后的拋物線解析式．
（3）根據(jù)（2）②的結(jié)論，可求得點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得PM的長，若△PMN是等腰三角形，則有三種情況需要考慮：
①PM=PN，此時(shí)將P點(diǎn)坐標(biāo)向上或向下平移PM個(gè)單位即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②PM=MN，此時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為P、N縱坐標(biāo)和的一半，由此可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；
③PN=MN，此時(shí)N在線段PM的垂直平分線上，利用②得到的等腰三角形，可構(gòu)建相似三角形求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（4）若△QMA的面積與△PMA的面積相等，則P、Q到直線OA的距離相等，此題分兩種情況討論：
①過P作平行于OA的直線，易求得此平行線的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②在A點(diǎn)的上方截取AD=PA，同①過D作直線OA的平行線，先求出此平行線的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．

（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2m
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短．
此時(shí)拋物線的解析式為y=（x-1）²+2．

（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；
則PM=

2

；
①PM=PN=

2

，則N₁（2，3+

2

），N₂（2，3-

2

）；
②PM=MN，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：N₃（2，1）；
③PN=PM，此時(shí)∠PMN₄=∠N₄PM=∠PM₃M，則：
△PMN₄∽△PN₃M，
得：PM²=PN₄•PN₃，
即：PN₄=PM²÷PN₃=1，
故N₄（2，2）；
綜上可知：符合要求的點(diǎn)N的坐標(biāo)為：
N₁（2，3+

2

）；N₂（2，3-

2

）；N₃（2，1）；N₄（2，2）．

（4）當(dāng)線段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x-1）²+2，
①過P作直線L∥OA，設(shè)直線L：y=2x+h，
又P的橫坐標(biāo)為2，把x=2代入拋物線解析式得：y=3，
則把P的坐標(biāo)（2，3）代入得：4+h=3，解得：h=-1；
∴直線L：y=2x-1，聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=2x-1 y=(x-1)2+2

，
解得

x=2 y=3

；
此時(shí)拋物線與直線L只有一個(gè)交點(diǎn)為P（2，3），故此種情況不成立；
②在點(diǎn)A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
過D作直線L′∥OA，設(shè)直線L′：y=2x+h′，
則有：4+h′=5，h′=1；
∴直線L′：y=2x+1，聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=2x+1 y=(x-1)2+2

，
解得

x=2+ 2 y=5+2 2

，

x=2- 2 y=5-2 2

；
拋物線上存在點(diǎn)Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

2

，5-2

2

），使△QMA與△PMA的面積相等．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移、解析式的確定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、等腰三角形的構(gòu)成條件、三角形面積的計(jì)算方法等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．