Question

在直角坐標系中，正方形ABCD上點B的坐標為（0，2），點C的坐標為（2，1），則點D的坐標為    ；若以C為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉180°后，點A的對應點為A₁，則A₁的坐標為    ；再以A₁為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉180°后，得到點C的對應點C₁，若重復以上操作，則點A₅的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據AB和AC之間的距離，可將點A的坐標求出，根據點A和點C的坐標，可將A，C所在的直線方程求出，分別以C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅為中心將正方形進行旋轉，則上述10個點總在AC所在的直線方程上，根據所求的點到點C的距離，列出方程，可進行求解．
解答：解：設A點坐標為（a，b），點D的坐標為（c，d），
∵正方形ABCD上點B的坐標為（0，2），點C的坐標為（2，1），
∴正方形ABCD的邊長為=，對角線AC=，
∴，解得：c=3，d=-3；
，解得：a=1，b=4．
故AC所在直線方程為：y=-3x+7，點D的坐標為（3，-3）．
（1）若以C為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉180°后，點A的對應點為A₁，
則A1C=，設A₁點坐標為（x，y），則（x-2）²+（-3x+7-1）²=（）²，解得：x=3，x=1（舍去），
∴y=-3×3+7=-2，
∴點A1的坐標為（3，-2）；

（2）再以A₁為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉180°后，得到點C的對應點C₁，若重復以上操作，則點C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅都在AC所在的直線方程上，A₅C=9，
設A5的坐標為（u，v），則（u-2）²+（-3u+7-1）²=（）²，解得：u=11，u=-7（舍去），
∴v=-3×11+7=-26，
∴點A5的坐標為（11，-26）．
點評：本題將一個圖形的旋轉放在坐標系中來考查，是一道考查數與形結合的好試題，也為高中后續(xù)學習做了良好的鋪墊．從考試情況看，還有非常多考生沒完全理解旋轉的三大要素即中心、方向、角度，故失分的較多．本題綜合考查學生旋轉和坐標知識．