Question

4．如圖，PB是半徑為5的圓O的一條割線，PA，PB的長是方程x²-10x+16=0的兩個根（PA＜PB），PC是圓O的一條切線，C是切點．則四邊形PAOC的面積是14．

Answer 1

分析 連接PO，過點O作OD⊥AB于點D，分別求出△PCO和△AOP的面積，即可得到則四邊形PAOC的面積．

解答 解：連接PO，過點O作OD⊥AB于點D，
∵x²-10x+16=（x-2）（x-8）=0，
∴x=2或8，
∵PA，PB的長是方程x²-10x+16=0的兩個根（PA＜PB），
∴PA=2，PB=8，
∵PB是半徑為5的圓O的一條割線，PC是圓O的一條切線，
∴PC²=PA•PB，
∴PC=4，
∴S_△PCO=$\frac{1}{2}$PC•OC=10，
∵AB=6，
∴AD=3，
∴OD=4，
∴S△PAO=$\frac{1}{2}$PA•OD=4，
∴四邊形PAOC的面積=4+10=14，
故答案為：14．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、切割線定理的運用、勾股定理的運用以及三角形面積公式的運用，正確的添加輔助線把四邊形的面積分割為兩個三角形的面積是解題關鍵．