Question

如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，請(qǐng)求出t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？（請(qǐng)直接寫出t的值）
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，請(qǐng)求出t的值；
（4）在（3）的情況下，若過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，且在BC上有一點(diǎn)F，PE=CF，連結(jié)PF，BE，試探索PF與BE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度即可解決問(wèn)題；
（2）按兩種情況討論：即BC邊為底或?yàn)檠�分類�?jì)算，即可解決問(wèn)題；
（3）借助面積公式分析、判斷、計(jì)算，即可解決問(wèn)題．
（4）作輔助線，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)全等三角形的判定及其性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，若CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，則點(diǎn)p必在AB邊上；
∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=

62+82

=

100

=10，
由題意得AP=2t-8，BP=10-（2t-8）=10-2t+8=18-2t；
∵CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴AC+AP=BC=BP，即8+2t-8=6+18-2t，
解得t=6（秒）；

（2）t=6或6.5（秒）．

（3）如圖1，當(dāng)CP把△ABC的面積分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)p必在AB邊上，
若AP、BP分別為△APC、△BPC的底邊，則△APC、△BPC有公共的高，
∵△APC、△BPC的面積相等，
∴AP=BP=5，
∴t=

8+5

2

=6.5（秒）．

（4）如圖2，連接PC；
∵點(diǎn)P為直角△ABC斜邊的中點(diǎn)，
∴PC=PB，∠PCF=∠PBC；
又∵PE∥∥BC，
∴∠EPB=∠PBC，
∴∠EPB=∠PCF；
在△PCF與△BPE中，

PC=PB ∠PCF=∠EPB CF=PE

，
∴△PCF≌△BPE（SAS），
∴PF=BE．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是充分把握題意，準(zhǔn)確掌握?qǐng)D形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)來(lái)解題．