Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，且∠CBD=30°，連接BD
（1）求證：AB=AD；
（2）設(shè)AD交BC于點(diǎn)P，若△ABP是等腰三角形，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）作△BDC的外接圓，延長(zhǎng)DE交圓于點(diǎn)F，連接CF、AF．易證△ACF是等邊三角形，從而有AF=AC=AB，可得過點(diǎn)B、F、C三點(diǎn)的圓（即過B、D、C三點(diǎn)的圓）的圓心為A，問題得以解決．
（2）由于等腰△ABP的腰不確定，故需分三種情況討論，利用三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）證明：作△BDC的外接圓，延長(zhǎng)DE交圓于點(diǎn)F，連接CF、AF，如圖所示，
則有∠DBC=∠DFC=30°．
∵DE垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴∠AFE=∠CFE=30°，
∴∠AFC=60°，
∴△AFC是等邊三角形，
∴AF=AC．
∵AB=AC，
∴AF=AC=AB，
∴點(diǎn)A為所作圓的圓心，
∴AB=AD．

（2）①若PA=PB，
則∠ABC=∠BAP．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠DAC=2∠DBC=60°，
∴∠APB=∠PAC+∠ACB=60°+∠ACB，
∴∠APB=60°+∠ABC．
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，
∴3∠ABC+60°=180°，
解得：∠ABC=40°
②若BA=BP，
同理可得：∠ABC=20°．
③AB=AP，
此時(shí)P與C重合，
則D與E重合，
不符合題意，故舍去．
綜上所述：當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，∠ABC的度數(shù)為40°或20°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造輔助圓是解決第（1）小題的關(guān)鍵，分類討論則是解決第（2）小題的關(guān)鍵．