Question

6．如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點(diǎn)，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）求證：AB²=AD•AE；
（2）若AD=1，DE=3，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根據(jù)弧與弦的關(guān)系，可得$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，繼而證得∠ABC=∠ADB，又由∠BAE是公共角，即可證得△ABD∽△AEB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由AB²=AD•AE，可求得AB，又由垂徑定理，可證得∠DAC=∠ABD，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB：AE=AD：AB，
∴AB²=AD•AE；

（2）解：∵AD=1，DE=3，
∴AE=4，
∴AB²=AD•AE=1×4=4，
∴AB=2，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=90°，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴BD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠DAC，
∴tan∠DAC=tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意證得△ABD∽△AEB是解此題的關(guān)鍵．