Question

如圖，以平行四邊形ABCD的一邊AB為直徑的⊙O交BC、BD于Q、P點，AQ交BD于E點，若BP=PD．
（1）求證：平行四邊形ABCD為菱形；
（2）若AE=4，EQ=2，求梯形AQCD的面積．

Answer 1

（1）證明：連接AP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
即AP⊥BP，
又∵BP=PD，
∴AP是BD的垂直平分線，
∴AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠QBE，∠EAD=∠EQB，
∴△ADE∽△QBE
∴，
又AD=BC，
∴，即Q為BC中點，
又∵AB為直徑，
∴AQ⊥BC，而BQ=CQ，
∴AQ是BC的垂直平分線，
∴AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為正三角形，
∴∠CAQ=30°，
設(shè)CQ=x，則AC=2x，又AQ=AE+EQ=6，
根據(jù)勾股定理得：（2x）²=x²+36，
解得：x=2，
∴CQ=2，
∴AC=BC=AD=4，
則梯形AQCD的面積為（4+2）×6=18．
分析：（1）連接AP，因為AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到AP垂直BD，又因題中已知BP=DP，可得AP為BD的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AB=AD，又四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC及AD平行BC，利用平行可得兩對內(nèi)錯角的相等，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得△ADE∽△QBE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得BQ與AD 的比為2：1，又AD=BC，等量代換可得點Q為BC的中點，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到AQ垂直BC，從而得到AQ為BC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AC，又AB=BC，得到三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的三線合一可得∠CAQ=30°，利用在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到AC=2CQ，設(shè)CQ=x，則AC=2x，又AQ=6，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解出x的值即可求出CQ與AC的長，根據(jù)AC=BC=AD，進(jìn)而得到AD的長，最后根據(jù)梯形的面積公式即可求出結(jié)果．
點評：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)等，第一問是利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形來證明的，第二項判斷出所求面積的四邊形為梯形，然后圍繞梯形面積的公式中的上底，下底及高逐一求出，進(jìn)而求出梯形的面積，本題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生掌握知識要全面，運用知識要靈活．