Question

求出能表示為n=

(a+b+c)2

abc

（a，b，c為正整數(shù)）的所有正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：整數(shù)問題的綜合運(yùn)用

專題：

分析：首先設(shè)a≤b≤c，根據(jù)abc=2（a+b+c）≤2（c+c+c）=6c，得到ab≤6，然后利用完全平方公式得到ac≥4或bc≥4或ab≥4或bc≥4，且ab≥4，從而得到4≤ab≤6且a≤b≤c，然后根據(jù)符合條件的三個(gè)未知數(shù)的整數(shù)值得到符合條件的正整數(shù)解共有兩組，一組為：1，4，5；一組為：2，2，4．

解答：解：不妨設(shè)a≤b≤c，則有abc=2（a+b+c）≤2（c+c+c）=6c，
∴有ab≤6，
∵（a-b）²=a²-2ab+b²，
∴a²+b²≥2ab且abc=2（a+b+c），
∴4（a+b+c）=2abc≤（a²+b²）c，4a+4b+4c-a²c-b²c≤0，
a（4-ac）+b（4-bc）+4c≤0，
∵a，b，c為正整數(shù)，
∴要使4a+4b+4c-a²c-b²c≤0成立，只能是4-ac≤0或4-bc≤0，
∴ac≥4或bc≥4，
同理可得：ab≥4或bc≥4，且ab≥4，
因此有4≤ab≤6且a≤b≤c，共有以下幾種可能：
當(dāng)a=1，b=4時(shí)，代入原式可解得：c=5；
當(dāng)a=1，b=5時(shí)，代入原式可解得：c=4，不符合a≤b≤c，舍去；
當(dāng)a=1，b=6時(shí)，代入原式可解得：c不是整數(shù)，舍去；
當(dāng)a=2，b=2時(shí)，代入原式可解得：c=4；
當(dāng)a=2，b=3時(shí)，代入原式可解得：c不是整數(shù)，舍去；
所以符合條件的正整數(shù)解共有兩組，一組為：1，4，5；一組為：2，2，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)問題的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到有關(guān)三個(gè)未知數(shù)的大小關(guān)系，另外還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．