Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD=3cm，現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動．過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．
（1）連接DP，t為何值時，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形？
（2）t＞1.6時，設(shè)△EDQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t使△EDQ的面積與△AEP的面積相等？若存在，求出t的值，若不存在，說明理由．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時，△EDQ為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{PE}{CD}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，用t表示出PE的長，根據(jù)平行四邊形的判定定理列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式表示出y與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意得到關(guān)于t的一元二次方程，解方程得到答案；
（3）分∠EDQ=90°和∠DEQ=90°兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理列式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵BC=5cm，CD=3cm，
∴BD=2cm，
∵∠C=90°，AC=4cm，CD=3cm，
∴AD=5cm，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{CD}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{PE}{3}$=$\frac{t}{4}$=$\frac{AE}{5}$，
解答，PE=$\frac{3t}{4}$，AE=$\frac{5t}{4}$，
∵四邊形EQDP能夠成為平行四邊形，
∴PE=DQ，即$\frac{3t}{4}$=2-1.25t，
解答，t=1，
∴當(dāng)t=1時，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形；
（2）由題意得，PC=4-t，DQ=1.25t-2，
∴△EDQ的面積=$\frac{1}{2}$×（4-t）×（1.25t-2），
∴y=-$\frac{5}{8}$t²+$\frac{7}{2}$t-4，
△AEP的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$t×t=$\frac{3}{8}$t²，
由題意得，-$\frac{5}{8}$t²+$\frac{7}{2}$t-4=$\frac{3}{8}$t²，
整理得，2t²-7t=8=0，
此方程無解，
∴不存在某一時刻t使△EDQ的面積與△AEP的面積相等；
（3）如圖2，∠EDQ=90°時，EQ∥AC，
∴$\frac{EQ}{AC}$=$\frac{DQ}{DC}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{1.25t-2}{3}$，
解得，t=$\frac{5}{2}$；
如圖3，當(dāng)∠DEQ=90°時，
△DEQ∽△DCA，
∴$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{DE}{DC}$，即$\frac{1.25t-2}{5}$=$\frac{5-\frac{5t}{4}}{3}$，
解得，t=3.1，
∴t=$\frac{5}{2}$s或t=3.1s時，△EDQ為直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)解析式的求法，靈活運(yùn)用相關(guān)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的正確運(yùn)用．