Question

如圖，梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD=6，∠D=60°，E、F分別為BC、CD上兩動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠AEF=120°，設(shè)BE=x，CF=y
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）x取何值，y有最大值，最大值多少？

Answer 1

分析：（1）由BE=x，BC=6，根據(jù)EC=BC-BE表示出EC，然后由BC與AD平行，可得∠C與∠D互補(bǔ)，由∠D的度數(shù)求出∠C的度數(shù)，在三角形ECF中利用三角形的內(nèi)角和定理求出其余兩角之和，又根據(jù)∠AEF的度數(shù)，利用平角定義求出剩下兩角之和，發(fā)現(xiàn)求出的兩個(gè)和相等，利用等量代換可得∠CFE=∠AEB，再根據(jù)梯形ABCD為等腰梯形可得∠C與∠B相等，從而利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得三角形ABE與三角形CEF相似，由相似得比例，把AB，BE，EC及CF的長(zhǎng)代入即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由E、F分別為BC、CD上兩動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且BE=x，求出x的范圍，再把第一問中求出的函數(shù)關(guān)系式配方，根據(jù)其中的二次項(xiàng)系數(shù)a小于0得到函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，故根據(jù)完全平方式最小值為0可得y的最大值，并求出此時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵AB=BC=CD=6，BE=x，CF=y，
∴EC=6-x，
∵BC∥AD（已知），
∴∠C+∠D=180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
又∠D=60°（已知），
∴∠C=120°（等量代換），
∴∠CEF+∠CFE=60°（三角形的內(nèi)角和定理），
又∠AEF=120°（已知），
∴∠CEF+∠AEB=60°（平角定義），
∴∠CFE=∠AEB（等量代換），
又梯形ABCD中，BC∥AD，AB=CD（已知），
∴∠B=∠C（等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等），
∴△ABE∽△ECF（兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似），
∴

AB

EC

=

BE

CF

（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
即

6

6-x

=

x

y

，
則y=-

1

6

x²+x；

（2）由0＜x＜6，
函數(shù)y=-

1

6

x²+x=-

1

6

（x-3）²+

3

2

為開口向下的拋物線，
當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，y的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一道四邊形與相似形及方程、函數(shù)的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及等腰梯形的性質(zhì)，解決此類問題需要一定的數(shù)學(xué)思想，即方程思想和函數(shù)思想，本題的思路為通過已知條件得出相似三角形，由相似三角形得比例式，進(jìn)而列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出y的最大值及此時(shí)x的值，學(xué)生在求二次函數(shù)最值時(shí)一定注意自變量x的范圍．