Question

6．在四邊形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3$\sqrt{5}$．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求點B的坐標；
（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD=5，OE=2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；
（3）點M在（2）中直線DE上，四邊形ODMN是菱形，求N的坐標．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥OA于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OH的長，根據(jù)勾股定理求出BH的長，得到點B的坐標；
（2）作EG⊥OA于G，得到△OGE∽△OHB，根據(jù)題意和相似三角形的性質(zhì)求出點E、D的坐標，運用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式；
（3）作MP⊥y軸于點P，得到△MPD∽△FOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理計算即可．

解答 解：如圖1，作BH⊥OA于H，則四邊形OHBC為矩形，
∴OH=CB=3，
∴AH=OA-OH=3，
∴BH=$\sqrt{B{A}^{2}-A{H}^{2}}$=6，
∴點B的坐標為（3，6）；
（2）如圖1，作EG⊥OA于G，則EG∥BH，
∴△OGE∽△OHB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OG}{OH}$=$\frac{EG}{BH}$，
∵OE=2EB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{2}{3}$，又OH=3，BH=6，
∴OG=2，EG=4，
∴點E的坐標為（2，4），
∵OC=BH=6，OD=5，
∴點D的坐標為（0，5），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5；
（3）如圖2，作MP⊥y軸于點P，
∵四邊形ODMN是菱形，
∴DM=MN=NO=OD=5，
∵MP∥OA，
∴△MPD∽△FOD，
∴$\frac{MP}{OF}$=$\frac{MD}{DF}$=$\frac{PD}{OD}$，
當y=0，即-$\frac{1}{2}$x+5=0時，x=10，
∴點F的坐標為（0，10），
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴$\frac{MP}{10}$=$\frac{PD}{5}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$，
解得，MP=2$\sqrt{5}$，PD=$\sqrt{5}$，
∴OP=5+$\sqrt{5}$，
∴N的坐標為（-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查的是一次函數(shù)知識的綜合運用，掌握矩形的性質(zhì)定理、菱形的性質(zhì)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟是解題的關(guān)鍵．