Question

如圖，AD=DB，AE=EC，F(xiàn)G∥AB，AG∥BC．
（1）證明：△AGE≌△CFE；
（2）說明四邊形ABFG是平行四邊形；
（3）研究圖中的線段DE，BF，F(xiàn)C之間有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）證明：∵AG∥BC（已知）
∴∠G=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠AEG=∠FEC（對(duì)頂角相等），又AE=EC（已知）
∴△AGE≌△CFE（AAS）；

（2）說明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）
∴四邊形ABFG是平行四邊形（平行四邊形的定義）；

（3）解：線段DE，BF，F(xiàn)C之間的位置關(guān)系是DE∥BF，DE∥FC，數(shù)量關(guān)系是DE=BF=FC，
理由：由（1）可知△AGE≌△CFE
∴AG=FC，F(xiàn)E=EG（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∴E是FG的中點(diǎn)，又∵AD=DB（已知）
∴DE為三角形ABC的中位線，
∴DE=BC，DE∥BC，
即DE∥BF，DE∥FC，
由（2）可知四邊形ABFG是平行四邊形
∴AG=BF，
∴BF=FC=BC，
∴DE=BF=FC，
即線段DE，BF，F(xiàn)C之間的位置關(guān)系是DE∥BF，DE∥FC，數(shù)量關(guān)系是DE=BF=FC．
分析：（1）根據(jù)AG∥FC得出的內(nèi)錯(cuò)角相等，以及AE=EC，即可判定△AGE≌△CFE；
（2）已知了FG∥AB，AG∥BC，那么四邊形ABFG的兩組對(duì)邊分別平行，由此可證得四邊形ABFG是平行四邊形；
（3）易知DE是△ABC的中位線，則DE=BC，且DE∥BC∥AG；由此可知四邊形ADEG和四邊形DBFE都是平行四邊形，故AG=DE=BF；由（1）的全等三角形可得AG=FC，故DE=BF=FC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形及全等三角形的判定和性質(zhì)．三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．