Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，MA=MC，MB=MD，以AB為直徑的O過點(diǎn)M且與DC延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)E．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB=4，求的長(zhǎng)（結(jié)果請(qǐng)保留π）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：(1)、首先根據(jù)MA=MC，MB=MD得出四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)直徑的性質(zhì)得出∠AMB=90°，從而得出菱形；(2)、作CH⊥AB于點(diǎn)H，連接OE，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠BOM的度數(shù)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式得出答案．

詳解：（1）∵MA=MC，MB=MD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB是⊙O的直徑，且⊙O經(jīng)過點(diǎn)M， ∴∠AMB=90°，即AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）如圖，作CH⊥AB于點(diǎn)H，連接OE，

∵四邊形ABCD是菱形，且AB=4， ∴DE∥AB，BC=AB=4，OA=OB=OE=2，

∵⊙O與DC相切于點(diǎn)E， ∴OE⊥DC， 則CH=OE=2，

在Rt△BCH中，由BC=2CH知∠CBH=30°， ∴∠OBM=∠CBH=15°， ∵OB=OM=2，

∴∠BOM=150°， 則的長(zhǎng)為=．