如圖,已知:△ABC為等邊三角形,D、F分別為射線BC、射線AB邊上的點(diǎn),BD=AF,以AD為邊作等邊△ADE.
(1)如圖①所示,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí):
①試說明:△ACD≌△CBF;②判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由;
(2)如圖②所示,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),判斷四邊形CDEF的形狀,并說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上移動(dòng)到何處時(shí),∠DEF=30°,并說明理由.
分析:(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出∠ACD=∠B=∠BAC=60°,∠ADE=60°,AD=DE,AC=BC=AB,求出CD=BF,根據(jù)SAS證出△ACD≌△CBF即可;②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BCF=∠DAC,AD=CF,求出DE=CF,求出∠BDE=∠BCF,推出DE∥CF,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可;
(2)求出∠ACD=∠FBC=120°,CD=BF,根據(jù)SAS證出△FBC≌△DCA,推出∠DAC=∠BCF,F(xiàn)C=AD,求出FC=DE,求出∠BCF=∠EDC,推出CF∥DE,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可;
(3)點(diǎn)D在邊BC的中點(diǎn)上時(shí),∠DEF=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=
1
2
∠BAC=30°,推出∠BCF=∠DAC=30°,∠DEF=∠DCF=30°,即可得出答案.
解答:解:(1)①∵△ABC、△ADE是等邊三角形,
∴∠ACD=∠B=∠BAC=60°,∠ADE=60°,AD=DE,AC=BC=AB,
∵BD=AF,
∴CD=BF,
∵在△ACD和△CBF中,
AC=BC
∠ACD=∠B
CD=BF
,
∴△ACD≌△CBF(SAS),
②判斷四邊形CDEF的形狀是平行四邊形,理由是:
∵△ACD≌△CBF,
∴∠BCF=∠DAC,AD=CF,
∵AD=DE,
∴DE=CF,
∵∠ACD=∠ADE=60°,∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC,
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE,
∴∠DAC=∠BDE,
∵∠BCF=∠DAC,
∴∠BDE=∠BCF,
∴DE∥CF,
∵DE=CF,
∴四邊形CDEF的形狀是平行四邊形;

(2)四邊形CDEF的形狀是平行四邊形,
理由是:∵∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠ACD=∠FBC=120°,
∵BD=AF,BC=AB,
∴CD=BF,
∵在△FBC和△DCA中,
BC=AC
∠FBC=∠DCA
BF=CD

∴△FBC≌△DCA(SAS),
∴∠DAC=∠BCF,F(xiàn)C=AD,
∵AD=DE,
∴FC=DE,
∵∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC=∠BCF+∠ADC,
∠ADE=60°=∠ADC+∠CDE,
∴∠BCF=∠EDC,
∴CF∥DE,
∵FC=DE,
∴四邊形CDEF是平行四邊形;

(3)點(diǎn)D在邊BC的中點(diǎn)上時(shí),∠DEF=30°,
理由是:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵點(diǎn)D在邊BC的中點(diǎn)上,
∴∠DAC=
1
2
∠BAC=30°,
∴∠BCF=∠DAC=30°,
∵四邊形CDEF是平行四邊形,
∴∠DEF=∠DCF=30°,
即點(diǎn)D在邊BC的中點(diǎn)上時(shí),∠DEF=30°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,題目比較典型,證明過程類似.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始,沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/S的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng),(其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)),設(shè)經(jīng)過t秒.
(1)如果P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),那么幾秒后,△PBQ的面積等于△ABC的面積的
13
?
(2)在(1)中,△PQB的面積能否等于10cm2?請(qǐng)說明理由.
(3)若P、Q分別從A、B兩點(diǎn)出發(fā),那么幾秒后,PQ的長(zhǎng)度等于6cm?
(4)P、Q在移動(dòng)的過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得PQ∥AC?若存在求出t的值,若不存在請(qǐng)說明理由.精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知:△ABC中,∠1=∠2,且AE=AD,BE和CD相交于F.求證:BF=CF.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD為∠ABC的平分線,則
AD
AC
的值等于
5
-1
2
5
-1
2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在△ABC中,D是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上,AE=AB,
BA
=
a
,
BC
=
b
,那么
DE
=
2
a
-
1
2
b
2
a
-
1
2
b

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案