Question

10．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上的點(diǎn)，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，∠BAD=∠CAE．
（1）求證：△BAC∽△DAE；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：EC⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE可得∠DAE，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$得到$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，則根據(jù)相似三角形的判定方法可得△BAC∽△DAE；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由△BAC∽△DAE得到∠B=∠ACE，再由三角形內(nèi)角和得到∠B+∠ACB=90°，所以∠ACB+∠ACB=90°，于是可判斷EC⊥BC．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，即∠DAE，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴△BAC∽△DAE；
（2）解：∵△BAC∽△DAE，
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴EC⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)和得到對(duì)應(yīng)角相等．