Question

20．二次函數(shù) y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（2，8），且以x=1為對(duì)稱軸．
（1）求此函數(shù)的解析式，并作出它的示意圖；
（2）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，寫出y的取值范圍；
（3）結(jié)合圖象直接寫出不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線對(duì)稱軸公式列出關(guān)系式，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入列出關(guān)系式，聯(lián)立求出a，b，c的值，即可確定出二次函數(shù)解析式，在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象即可；
（2）利用函數(shù)圖象可直接得出結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù) y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（2，8），且以x=1為對(duì)稱軸，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}=1\\ 16a+4b+c=0\\ 4a+2b+c=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=8\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），（4，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，9），
二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（2）由圖可知，當(dāng)0＜x＜4時(shí)，0＜y≤9；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為-2＜x＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)與不等式，能根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．