Question

（2008•陜西）某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲，乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處．
如圖，甲，乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計(jì)），點(diǎn)M表示這所中學(xué)．點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30°的3km處，點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60°的km處．
為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：
方案一：供水站建在點(diǎn)M處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請你在圖①中，畫出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖②中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值．
綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，供水站建在點(diǎn)M處，根據(jù)垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短，可知鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值為MB+MD，求值即可；
（2）作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對稱點(diǎn)M'，則MM'=2ME，連接AM'交OE于點(diǎn)P，且證明P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，即AM'過D點(diǎn)．求出AM'的值即是鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的值；
（3）作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對稱點(diǎn)M'，作M'N⊥OE于N點(diǎn)，交OF于點(diǎn)G，交AM于點(diǎn)H，連接GM，則GM=GM'，可證得N，D兩點(diǎn)重合，即M'N過D點(diǎn)．求GM+GD=M'D的值就是最小值．
解答：解：方案一：
由題意可得：MB⊥OB，
∴點(diǎn)M到甲村的最短距離為MB，（1分）
∵點(diǎn)M到乙村的最短距離為MD，
∴將供水站建在點(diǎn)M處時(shí)，管道沿MD，MB線路鋪設(shè)的長度之和最小，
即最小值為MB+MD=3+（km）；（3分）
方案二：如圖①，作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對稱點(diǎn)M'，則MM'=2ME，
連接AM'交OE于點(diǎn)P，PE∥AM，PE=AM，
∵AM=2BM=6，∴PE=3，（4分）
在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，
ME=DM=×，
∴PE=DE，∴P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即AM'過D點(diǎn)，（6分）
在線段CD上任取一點(diǎn)P'，連接P'A，P′M，P'M'，
則P'M=P′M'，
∵AP'+P'M'＞AM'，
∴把供水站建在乙村的D點(diǎn)處，管道沿DA，DM線路鋪設(shè)的長度之和最小，
即最小值為AD+DM=AM'=；（7分）
方案三：作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對稱點(diǎn)M'，作M'N⊥OE于N點(diǎn)，交OF于點(diǎn)G，交AM于點(diǎn)H，連接GM，則GM=GM'，
∴M'N為點(diǎn)M'到OE的最短距離，即M'N=GM+GN
在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，
∴MH=3，∴NE=MH=3，
∵DE=3，∴N，D兩點(diǎn)重合，即M'N過D點(diǎn)，
在Rt△M'DM中，DM=，∴M'D=（10分）
在線段AB上任取一點(diǎn)G'，過G'作G'N'⊥OE于N'點(diǎn)，
連接G'M'，G'M，
顯然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，
∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM，GD
線路鋪設(shè)的長度之和最小，即最小值為GM+GD=M'D=，（11分）
綜上，∵3+＜，
∴供水站建在M處，所需鋪設(shè)的管道長度最短．（12分）
點(diǎn)評：此題主要考查線路最短問題的作圖和求值問題，有一定的難度．