Question

20．如圖，一次函數(shù)y=k₁x-1的圖象經(jīng)過A（0，-1）、B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若△OBM的面積為1．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥PM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知點(diǎn)B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得出答案，再利用△OBM的面積得出M點(diǎn)縱坐標(biāo)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出M點(diǎn)坐標(biāo)即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)M作PM⊥AM，垂足為M，得出△AOB∽△PMB，進(jìn)而得出BP的長即可得出答案；
（3）利用△QBM∽△OAM，得出$\frac{QB}{AO}$=$\frac{BM}{AM}$，進(jìn)而得出OQ的長，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，
∵一次函數(shù)y=k₁x-1的圖象經(jīng)過A（0，-1）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴0=k₁-1，AO=BO=1，
解得：k₁=1，
故一次函數(shù)解析式為：y=x-1，
∵△OBM的面積為1，BO=1，
∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為：2，
∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，
∴△AOB∽△MNB，
∴$\frac{AO}{MN}$=$\frac{OB}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
則BN=2，
故M（3，2），
則xy=k₂=6，
故反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{6}{x}$；

（2）如圖2，過點(diǎn)M作PM⊥AM，垂足為M，
∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，
∴△AOB∽△PMB，
∴$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BO}{BM}$，
由（1）得：AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故$\frac{\sqrt{2}}{BP}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
解得：BP=4，
故P（5，0）；

（3）如圖3，∵△QBM∽△OAM，
∴$\frac{QB}{AO}$=$\frac{BM}{AM}$，
由（2）可得AM=3$\sqrt{2}$，
故$\frac{QB}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得：QB=$\frac{2}{3}$，
則OQ=$\frac{5}{3}$，
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{5}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形相似的判定與性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．