Question

16．【發(fā)現(xiàn)】如圖1∠ACB=∠ADB=90°，
那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上（如圖1①）
【思考】
如圖1②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上嗎？圖中卡通人證明了D不在⊙O外，請你畫圖證明點D也不在⊙O內(nèi)．

【應(yīng)用】：利用【發(fā)現(xiàn)】和【思考】中的結(jié)論解決以下問題：
如圖2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=6，$cos∠CAB=\frac{1}{3}$，若將△ACB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得Rt△AC′B′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤180°）連結(jié)CC′交BB′于點F，交AB邊于點O．
（1）請證明：∠BFO=∠CAO．
（2）若CA=CO=6，求則OF的長．
（3）在運動過程中，請證明F永遠是BB′的中點，并直接寫出點F的運動路線長．

Answer 1

分析 【思考】假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，利用圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)，可證得與條件相矛盾的結(jié)論，從而證得點D不在⊙O內(nèi)；
【應(yīng)用】：（1）過C作CD⊥AB于點D，BH⊥CF于H，由已知條件得到AD=DO，解直角三角形得到AD=$\frac{1}{3}$AC=2，得到BO=AB-AO=18-4=14，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，推出A，F(xiàn)，B，C四點共圓，于是得到結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠COA=∠CAO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BOF=∠BFO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BF=BO=14，于是得到結(jié)論；
（3）連接AF，根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠AFC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到F永遠是BB′的中點；根據(jù)圓周角定理得到在運動過程中，點F的運動路線是以AB為直徑的半圓，即可得到結(jié)論．

解答 解：【思考】如圖1，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴點D也不在⊙O內(nèi)，
∴點D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，點D在⊙O上；

【應(yīng)用】：（1）如圖2，過C作CD⊥AB于點D，BH⊥CF于H，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB=$\frac{1}{3}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{AB}$，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB=$\frac{1}{3}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAC′），∠ABB′=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴A，F(xiàn)，B，C四點共圓，
∴∠BFO=∠CAO；

（2）∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（對頂角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14，
∵$cos∠CAB=\frac{1}{3}$，
∴HF=$\frac{7\sqrt{10}}{5}$，
∴OF=2HF=$\frac{14\sqrt{10}}{5}$；

（3）如圖2，連接AF，
∵A，F(xiàn)，B，C四點共圓，
∴∠ABC=∠AFC，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠BFO+∠AFC=90°，
∴AF⊥BB′，
∵AB=AB′，
∴BF=B′F；
∴F永遠是BB′的中點；
∵∠AFB=90°，
∴在運動過程中，點F的運動路線是以AB為直徑的半圓，
∵CA=6，$cos∠CAB=\frac{1}{3}$，
∴AB=18，
∴點F的運動路線長=$\frac{1}{2}$×18π=9π．

點評 本題綜合考查了圓周角定理、反證法、三角形外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，點和圓的位置關(guān)系、切線的判定、矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．