Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E，BE交⊙O于點F，連接AF，AF的延長線交DE于點P．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求線段AP的長．

Answer 1

（1）證明：連結AD、OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD為△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四邊形OAED為矩形，
而OD=OA，
∴四邊形OAED為正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE==；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE=，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP==，
∴EP=1，
∴AP==．
分析：（1）連結AD、OD，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的直線得DC=DB，所以OD為△BAC的中位線，則OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，
這樣根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）易得四邊形OAED為正方形，然后根據(jù)正切的定義計算tan∠ABE的值；
（3）由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°，再根據(jù)等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，則tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定義可計算出EP，然后利用勾股定理可計算出AP．
點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理和解直角三角形．