Question

已知DACB和DECD都是等腰直角三角形，AB、DE為斜邊。

（1）若D在直線AC上，E在線段BC上（如圖1）。求證：直線AE與BD垂直。

（2）若DECD繞點C任意旋轉一個角度（如圖2）。請判斷AE與BD是否還垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由。

　　 

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：∵ DACB和DECD都是等腰直角三角形，∴ AC=BC，CD=CE，ÐACB=ÐDCE=90°�！� DACE≌DBCD�！� ÐCAE=ÐCBD，延長AE交BD于F�！� ÐCAE+ÐCEA=90°，ÐCEA=ÐBEF，∴ ÐBEF+ÐDBC=90°�！� AE^BD。 （2）垂直 證明：∵ DACB和DECD都是等腰直角三角形�！� AC=BC，DC=CE，ÐACB=ÐDCE=90°。 ∴ ÐACE=ÐDCB。∴ DACE≌DBCD。∴ ÐACE=ÐCBD。若AE與BC交于F。則ÐCAE+ÐAFC=90°。∵ ÐAFC=ÐBFE。∴ ÐBFE+ÐCBD=90°。∴ AE^BD。