Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的頂點(diǎn)為P（x₀，y₀），點(diǎn)A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）在該拋物線上．

（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=4，c=10時(shí)，①求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求-的值；

（Ⅱ）當(dāng)y₀≥0恒成立時(shí)，求的最小值．

 

Answer 1

Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此時(shí)拋物線的解析式為y=x²+4x+10。

       ①∵y=x²+4x+10=（x+2）²+6，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（－2，6）。

②∵點(diǎn)A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）在拋物線y=x²+4x+10上，

∴y_A=15，y_B=10，y_C=7。∴。

（Ⅱ）由0＜2a＜b，得。

由題意，如圖過點(diǎn)A作AA₁⊥x軸于點(diǎn)A₁，

則AA₁=y_A，OA₁=1。

連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，

則BD=y_B－y_C，CD=1。

過點(diǎn)A作AF∥BC，交拋物線于點(diǎn)E（x₁，y_E），交x軸于點(diǎn)F（x₂，0）。

則∠FAA₁=∠CBD。∴Rt△AFA₁∽R(shí)t△BCD。

∴ ，即。

過點(diǎn)E作EG⊥AA₁于點(diǎn)G，易得△AEG∽△BCD。

∴，即。

∵點(diǎn)A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）、E（x₁，y_E）在拋物線y=ax²+bx+c上，

∴y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a－b+c，y_E=ax₁²+bx₁+c，

∴，化簡(jiǎn)，得x₁²＋x₁－2=0，

解得x₁=－2（x₁=1舍去）。

∵y₀≥0恒成立，根據(jù)題意，有x₂≤x₁＜－1。

則1－x₂≥1－x₁，即1－x₂≥3。

∴的最小值為3。

【解析】（Ⅰ）將a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函數(shù)解析式。

①將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)。

②將A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）分別代入解析式，即可求出y_A、y_B、y_C的值，然后計(jì)算的值即可。

（Ⅱ）根據(jù)0＜2a＜b，求出，作出圖中輔助線：點(diǎn)A作AA1⊥x軸于點(diǎn)A1，則AA₁=y_A，OA₁=1．連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則BD=y_B－y_C，CD=1．過點(diǎn)A作AF∥BC，交拋物線于點(diǎn)E（x₁，y_E），交x軸于點(diǎn)F（x₂，0）。證出Rt△AFA₁∽R(shí)t△BCD，得到