Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

2

x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積．
（3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍．
（4）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)把圖象沿y軸向下平移

 

個(gè)單位．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，將A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)解析式，求出C點(diǎn)坐標(biāo)、B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形面積公式即可求出△ABC的面積；
（3）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出x的取值范圍；
（4）求出拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可根據(jù)平移知識(shí)得出答案．

解答：解：（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c，
得：

-2+2b+c=0 c=-6

，
解得

b=4 c=-6

，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x2+4x-6；

（2）∵該拋物線對(duì)稱軸為直線x=-

4

2×(- 1 2 )

=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
∴AC=OC-OA=4-2=2，
∴S△ABC=

1

2

×AC×OB=

1

2

×2×6=6；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x2+4x-6=0，
解得，x₁=2，x₂=6，
由圖可知，x＜2或x＞6．

（4）將（2）中所求x=4代入解析式，即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為-

1

2

×4²+4×4-6=2，
可見把圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位，則該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象與幾何變換等知識(shí)，解答時(shí)要理清思路，并注意計(jì)算的正確性．