【答案】
分析:(1)根據(jù)直線y=-3x-3求出與x軸、y軸的交點坐標,再利用B的坐標,結(jié)合待定系數(shù)法求出a、b、c值,得到二次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)P點的坐標為(x,x
2-2x-3),先根據(jù)中點坐標公式得到O′點的坐標為(

,

),再根據(jù)同圓的半徑相等得到O′O=O′D,列出關(guān)于x的方程,求解即可;
(3)根據(jù)題意,不妨設(shè)E點的坐標為(m,0),點F在拋物線y=x
2-2x-3上.分兩種情況進行討論:①當BE為正方形BEFG的邊時,則F點的坐標為(m,m
2-2m-3),根據(jù)正方形的邊長相等,BE=EF列出關(guān)于m的方程,求解即可;②當BE為正方形BEFG的對角線時,根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等,得出F點的坐標為(

,|

|),將它代入拋物線的解析式,列出關(guān)于m的方程,求解即可.
解答:解:(1)直線y=-3x-3與x軸的交點為(-1,0),與y軸的交點為(0,-3),
∵拋物線y=ax
2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,
∴

,
解得

,
∴拋物線的解析式為y=x
2-2x-3;

(2)在拋物線上存在點P(3+2

,12+8

)或(3-2

,12-8

),能夠使得以線段PD為直徑的⊙O′經(jīng)過坐標原點O.理由如下:
設(shè)P點的坐標為(x,x
2-2x-3).
∵線段PD為⊙O′的直徑,D(4,-1),
∴O′點的坐標為(

,

).
∵O′O=O′D,
∴(

)
2+(

)
2=(

-4)
2+(

+1)
2,
整理,得x
2-6x-3=0,
解得x=3±2

.
當x=3+2

時,x
2-2x-3=(3+2

)
2-2(3+2

)-3=12+8

,此時P點的坐標為(3+2

,12+8

),
當x=3-2

時,x
2-2x-3=(3-2

)
2-2(3-2

)-3=12-8

,此時P點的坐標為(3-2

,12-8

);
(3)不妨設(shè)點F在拋物線y=x
2-2x-3上,E點的坐標為(m,0).
分兩種情況:
①當BE為正方形BEFG的邊時,則F點的坐標為(m,m
2-2m-3).
∵四邊形BEFG是正方形,
∴BE=EF,
∴|m-3|=|m
2-2m-3|,
即m-3=m
2-2m-3,或m-3=-(m
2-2m-3),
解得m
1=0,m
2=3,或m
1=-2,m
2=3,
當m=3時,E點與B點重合,不合題意,舍去,
∴E點的坐標為(0,0)或(-2,0);
②當BE為正方形BEFG的對角線時,
∵BE=FG,BE⊥FG,BE與FG互相平分,
∴點F在BE的垂直平分線上,且點F到BE的距離

BE,
∴F點的坐標為(

,|

|),
∵點F在拋物線y=x
2-2x-3上,
∴|

|=(

)
2-2(

)-3,
即

=(

)
2-2(

)-3,或-

=(

)
2-2(

)-3,
解得m
1=-3,m
2=3,或m
1=-7,m
2=3,
當m=3時,E點與B點重合,不合題意,舍去,
∴E點的坐標為(-3,0)或(-7,0).
綜上可知,E點所有可能的坐標為(0,0)或(-2,0)或(-3,0)或(-7,0).
點評:本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,中點坐標公式,兩點間的距離公式,正方形的性質(zhì),綜合性較強,難度較大,其中(3)進行分類討論是解題的關(guān)鍵.