Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=-

3

2

，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)四邊形AMCO的面積最大？并求出最大值；
（3）當(dāng)四邊形AMCO面積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)解析式求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），連接MO，根據(jù)S_{四邊形AMCO}=S_△AMO+S_△CMO得出關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)點(diǎn)M為（-2，-3）時(shí)四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8；
（3）設(shè)直線x=-2與x軸交于點(diǎn)G，與直線BC交于點(diǎn)F．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)B、C的坐標(biāo)求得直線BC的解析式，進(jìn)而求得F的坐標(biāo)，得出GF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得BF的長(zhǎng)，設(shè)Q（-2，n），則在Rt△QGO中，由勾股定理得出OQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)Rt△BGF∽R(shí)t△QEF對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于n的方程，解這個(gè)方程，即可求得n的值，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)；

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-

3

2

，
∴x=-

b

2a

=-

b

2× 1 2

=-

3

2

，解得b=

3

2

．
∵拋物線y=

1

2

x2+bx+c經(jīng)過(guò)D（2，3），
∴3=

1

2

×22+2×

3

2

+c，解得c=-2．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2+

3

2

x-2．

（2）如圖①，拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

3

2

x-2，
令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2）．
令y=0，得x=-4或1，
勾股定理∴A（-4，0）、B（1，0）．
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），連接MO．
則S_{四邊形AMCO}=S_△AMO+S_△CMO
=

1

2

×4×(-

1

2

m2-

3

2

m+2)+

1

2

×1×(-m)
=-（m+2）²+8
∴當(dāng)m=-2時(shí)，

1

2

m2+

3

2

m-2=-3
∴當(dāng)點(diǎn)M為（-2，-3）時(shí)四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．　　　

（3）如圖②，假設(shè)存在這樣的⊙Q．
設(shè)直線x=-2與x軸交于點(diǎn)G，與直線BC交于點(diǎn)F．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（1，0）、C（0，-2）代入得：

k+b=0 b=-2

，解得：k=2，b=-2，
∴直線BC解析式為：y=2x-2，
令x=-2，得y=-6，
∴F（-2，-6），GF=6．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=

BG2+GF2

=3

5

，
設(shè)Q（-2，n），則在Rt△QGO中，由勾股定理得：OQ=

OG2+QG2

=

4+n2

．
設(shè)⊙Q與直線BC相切于點(diǎn)E，則QE=OQ=

4+n2

．
在Rt△BGF與Rt△QEF中，
∵∠BGF=∠QEF=90°，∠BFG=∠QFE，
∴Rt△BGF∽R(shí)t△QEF．
∴

BF

QF

=

BG

QE

，即

3 5

6+n

=

3

n2+4

．
化簡(jiǎn)得：n²-3n-4=0，解得n=4或n=-1．
∴存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，4）或（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、勾股定理的應(yīng)用，四邊形的面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．試題有一定的難度，需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算．