Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE交BF于H，CF交DE于N
（1）求證：HENF為平行四邊形；
（2）若∠ANE=∠ABC，AB=8，AD=6

3

，AE=6．求AN的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)和矩形的判定定理推知四邊形AECF是矩形，則AF=CE，故FD=BE，結(jié)合FD∥BE來證明FBED為平行四邊形；由該平行四邊形的性質(zhì)推知四邊形HENF為平行四邊形；
（2）欲求AN的長度，只需通過相似三角形△ADN∽△DEC的對應(yīng)邊成比例得到：

AN

DC

=

AD

DE

．利用勾股定理可以求得DE=12，然后把相關(guān)線段的長度代入該比例式來求AN的長度即可．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
∴FD∥BE．
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是矩形，
∴AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即FD=BE，
∴四邊形FDEB是平行四邊形，
∴BF∥ED，則HF∥EN，
又∵HE∥FN，
∴四邊形HENF為平行四邊形；

（2）解：∵在直角△EAD中，AD=6

3

，AE=6，
∴由勾股定理得 ED=

AE2+AD2

=12．
∵∠ABC=∠ADC=∠ADN+∠EDC，∠ANE=∠ABC，∠ANE=∠ADN+∠DAN，
∴∠ADN+∠EDC=∠ADN+∠DAN，
∴∠DAN=∠EDC．
又∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DEC，
∴△ADN∽△DEC，
∴

AN

DC

=

AD

DE

=

3

2

，
∴AN=

3

2

DC=

3

2

×8=4

3

．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．