Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=30°，AD為BC邊上的中線，E為AD上一動點，設(shè)DE=nEA，連接CE并延長交AB于點F，過點F作FG∥AC交AD（或延長線）于點G．
（1）當(dāng)n=1時，則=______，=______．
（2）如圖2，當(dāng)n=時，求證：FG²=FE•FC；
（3）如圖3，當(dāng)n=______時，．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時，E為AD的中點，
過點D作DH∥CF交AB于點H，
則BH=HF=FA，CF=2DH=2×2EF=4EF，
∴=2，=3．

（2）過點D作DH∥CF交AB于點H，
設(shè)AF=x，則BH=HF=nx．
∵∠B=30°，
∴AC=AB=（2n+1）x，
過點C作CM⊥AB于點M，
∵∠ACM=∠B=30°，
∴MC=ACcos∠ACM=ACcos30°=（2n+1）x•=x，AM=AC=×（2n+1）x=x，
∴MF=AF-AM=x-x=x，
∴FC²=MF²+MC²=（x）²+（x）²=x²，
∵，
∴FE=HD=FC，
∴FE•FC=FC²，，
∴，即，
∴當(dāng)n=時，F(xiàn)C²=x²=x²，F(xiàn)E•FC=FC²=x²，
∴x²=FE•FC．
∵FG∥AC，
∴，
∴FG=AC=x=x，
∴FC²=x²=FE•FC．

（3）過點D作DH∥CF交AB于點H，
設(shè)BH=x，則HF=x，F(xiàn)A=4x，
∴，
∴n=．

分析：（1）首先過點D作DH∥CF交AB于點H，由n=1時，可得E為AD的中點，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得答案；
（2）首先過點D作DH∥CF交AB于點H，設(shè)AF=x，則BH=HF=nx．由∠B=30°，即可求得AC的值，然后過點C作CM⊥AB于點M，易求得MC與MF的值，由勾股定理即可求得FC²=MF²+MC²，然后由平行線分線段成比例定理，即可證得FG²=FE•FC；
（3）過點D作DH∥CF交AB于點H，設(shè)BH=x，則HF=x，F(xiàn)A=4x，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得n的值．
點評：此題考查了平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．