Question

（2011•寧德）直線y=x-6與x軸、y軸分別交于點A、B，點E從B點，出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段BO向O點移動（與B、O點不重合），過E作EF∥AB，交x軸于F．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形DCEF，設(shè)點E的運動時間為t秒．
（1）①直線y=x-6與坐標軸交點坐標是A（

6

，

0

），B（

0

，

-6

）；
②畫出t=2時，四邊形ABEF沿EF折疊后的圖形（不寫畫法）；
（2）若CD交y軸于H點，求證：四邊形DHEF為平行四邊形；并求t為何值時，四邊形DHEF為菱形（計算結(jié)果不需化簡）；
（3）設(shè)四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與坐標軸交點求法，與x軸相交y=0，與y軸相交，x=0，分別求出即可；
（2）根據(jù)菱形的判定方法求出要使四邊形DHEF為菱形，只需EF=DF，利用DF=FA=EB=t，進而求出即可；
（3）分兩種情況討論：①當0＜t≤3時，四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是△DFG，②當3＜t＜6時，
四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是四邊形DHOF，分別求出即可．

解答：解：（1）①∵圖象與x軸相交y=0，與y軸相交，x=0，分別求出：
直線y=x-6與坐標軸交點坐標是：A（6，0），B（0，-6）；
②如圖1，四邊形DCEF即為四邊形ABEF沿EF折疊后的圖形；

（2）∵四邊形DCEF與四邊形ABEF關(guān)于直線EF對稱，
又AB∥EF，
∴CD∥EF．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°．
∵AB∥EF，
∴∠AFE=135°．
∴∠DFE=∠AFE=135°．
∴∠AFD=360°-2×135°=90°，即DF⊥x軸．
∴DF∥EH，
∴四邊形DHEF為平行四邊形．
要使四邊形DHEF為菱形，
只需EF=DF，
∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA，
∴FA=EB．
∴DF=FA=EB=t．
又∵OE=OF=6-t，
∴EF=

2

(6-t)．
∴

2

(6-t)=t．
∴t=

6 2

1+ 2

=12-6

2

．
∴當t=12-6

2

時，四邊形DHEF為菱形．

（3）分兩種情況討論：
①當0＜t≤3時，
四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是△DFG，
∴S=

1

2

t2．
∵S=

1

2

t2，在t＞0時，S隨t增大而增大，
∴t=3時，S_最大=

9

2

；
②當3＜t＜6時，
四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是四邊形DHOF，
∴S_{四邊形DHOF}=S_△DGF-S_△HGO．
∴S=

1

2

t2-

1

2

(2t-6)2，
=-

3

2

t2+12t-18，
=-

3

2

(t-4)2+6．
∵a=-

3

2

＜0，
∴S有最大值．
∴當t=4時，S_最大=6．
綜上所述，當t=4時，S最大值為6．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值求法和菱形的判定，熟練利用自變量的取值范圍求出是解題關(guān)鍵．