Question

【題目】如圖，一架長(zhǎng)4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為．

（1）求AO與BO的長(zhǎng)；

（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行.

①如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米；

②如圖３，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A’點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B’點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P’點(diǎn)．若∠POP’＝ ，試求AA’的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BO=2m；AO=2m．（2）①（）m．②（2-2）m．

【解析】

試題分析：（1）直角三角形中已知斜邊和一個(gè)角，那么兩條直角邊就容易求得了．

（2）①可先設(shè)出AC，BD的長(zhǎng)，然后表示出OC，OD的長(zhǎng)，根據(jù)滑動(dòng)前后梯子長(zhǎng)不變的特點(diǎn)在直角三角形WMC中運(yùn)用勾股定理求出未知數(shù)的值，然后求出AC，BD的長(zhǎng)．

②可根據(jù)直角三角形斜邊中線定理，和已知的∠ABO的度數(shù)，來求出∠B′A′O的度數(shù)，然后求出OA′的長(zhǎng)，從而求出AA′的長(zhǎng)．

試題解析：（1）BO=AB×cos60°=4×=2（m）

AO=AB×sin60°=4×=2（m）

答：BO=2m；AO=2m．

（2）①設(shè)AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．

根據(jù)勾股定理有OC2+OD2=CD2．

∴（2-2x）2+（2+3x）2=42．

∴13x2+（12-8）x=0．

∵x≠0，

∴13x+12-8=0，

∴x=．

∴AC=2x=（）m．

答：梯子頂端A沿NO下滑了（）m．

②∵P點(diǎn)和P′點(diǎn)分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點(diǎn)．

∴PA=PO，P′A′=P′O．

∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．

∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．

∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．

又∵∠PAO=30°．

∴∠P′A′O=45°．

∴A′O=A′B′×cos45°=4×=2（m）．

∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．