Question

如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x²+bx（b＞2）與x軸的另一交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P（1，

b

2

）作直線PN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)B．點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C．連結(jié)CB，CP．
（1）當(dāng)b=4時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；
（2）連結(jié)CA，求b的適當(dāng)?shù)闹�，使得CA⊥CP；
（3）當(dāng)b=6時(shí)，如圖2，將△CBP繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得到△CB′P′，CP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，點(diǎn)M為線段B′P′（包含端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段EM長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用拋物線y=-x²+4x，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)，
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．
（3）利用拋物線y=-x²+6x，求出BC，PC及EP的長(zhǎng)，再分兩種情況①當(dāng)BC在CP上時(shí)，且M點(diǎn)與B′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最短，②當(dāng)BC在PC延長(zhǎng)線上時(shí)，且M點(diǎn)與P′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最長(zhǎng)，求出線段EM長(zhǎng)度的取值范圍．

解答：解：（1）∵b=4，
∴拋物線y=-x²+4x，
在y=-x²+4中，
令y=0，得-x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=4
∴A（4，0）
令x=1，得y=3
∴B（1，3）
∵對(duì)稱軸x=-

4

2×(-1)

=2
∴C（3，3）
∴BC=2
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，
∴∠BCP=∠DCA，
又∵∠CBP=∠CDA=90°
∴△CBP∽△CDA
∴

CD

BC

=

DA

BP

在y=-x²+bx中，
令x=1，則y=b-1
∴B（1，b-1）
又∵對(duì)稱軸x=-

b

2×(-1)

=

b

2

，
∴BC=2（

b

2

-1）=b-2，
∴C（b-1，b-1），
∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-

b

2

=

b

2

-1，
∴

b-1

b-2

=

1

b 2 -1

，
∴b=3．
（3）∵b=6，
∴拋物線y=-x²+6x
在y=-x²+6x中，
令x=1，得y=5
∴B（1，5）
∵對(duì)稱軸x=-

6

2×(-1)

=3
∴C（5，5）
∴BC=4，
∵P（1，

b

2

），
∴P（1，3），
∴BP=5-3=2，
∴PC=

42+22

=2

5

∵CP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，
∴EP=EC=

1

2

PC=

5

，
①如圖2，當(dāng)BC在CP上時(shí)，且M點(diǎn)與B′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=

5

-（2

5

-4）=4-

5

．
②如圖3，當(dāng)BC在PC延長(zhǎng)線上時(shí)，且M點(diǎn)與P′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最長(zhǎng)，

EM=EC+P′C=

5

+2

5

=3

5

．
∴4-

5

≤EM≤3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合找出EM取最大值及最小值時(shí)三角形CB′P′的位置．