Question

（2010•棗莊）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，已知OE=1cm，DF=4cm．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求切線CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)垂徑定理可知DE的長(zhǎng)；在Rt△ODE中，已知了OE、DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可將OD即⊙O的半徑求出；
（2）易證得△OED∽△ODC，根據(jù)相似三角形得出的對(duì)應(yīng)成比例線段，可將CD的長(zhǎng)求出．
解答：解：（1）連接OD，
在⊙O中，直徑AB⊥弦DF于點(diǎn)E，
∴DE=DF=2cm．
在Rt△ODE中，OE=1cm，DE=2cm，
∴OD=cm．

（2）∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥CD，
在△OED與△ODC中，∠OED=∠ODC=90°，∠EOD=∠DOC，
∴△OED∽△ODC．
則，即．
∴CD=2cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及相似三角形的判定知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．