Question

17．如圖所示，△OA₁B₁，△A₁A₂B₂，△A₂A₃B₃，…，△A_n-1A_nB_n，都是等腰直角三角形，斜邊OB₁，A₁B₂，…，A_n-1B_n的中點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）都在函數(shù)$y=\frac{16}{x}（x＞0）$的圖象上，則y₁+y₂+y₃+…+y_n=4$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)△OP₁A₁是等腰直角三角形，過點P₁作P₁M⊥x軸，則P₁M=OM=MA₁，所以可設P₁的坐標是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a=4，從而求出A₁的坐標是（8，0），再根據(jù)△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，設P₂的縱坐標是b，則P₂的橫坐標是8+b，把（8+b，b）代入函數(shù)解析式得到b的值，故可得出P₂的縱坐標y₂，同理可以得到p₃的縱坐標，P_n的縱坐標，根據(jù)規(guī)律可以求出y₁+y₂+…y_n．

解答 解：如圖，過點P₁作P₁M⊥x軸，
∵△OP₁A₁是等腰直角三角形，
∴P₁M=OM=MA₁，
設P₁的坐標是（a，a），把（a，a）代入解析式y(tǒng)=$\frac{16}{x}$ （a＞0）中，得a=4，
∴y₁=4，
又∵△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，
∴設P₂的縱坐標是b（b＞0），則P₂的橫坐標是8+b，把（8+b，b）代入函數(shù)解析式得b=$\frac{16}{8+b}$，
解得b=4$\sqrt{2}$-4
∴y₂=4$\sqrt{2}$-4，
設P₃的縱坐標是c（c＞0），則P₃橫坐標為8+2（4$\sqrt{2}$-4）+c=8$\sqrt{2}$+c，把（8$\sqrt{2}$+c，c）代入函數(shù)解析式得c=$\frac{16}{8\sqrt{2}+c}$，
解得c=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，
∴y₃=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，
∵y₁=4$\sqrt{1}$-4$\sqrt{0}$，y₂=4$\sqrt{2}$-4$\sqrt{1}$，y₃=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，…
∴y_n=4$\sqrt{n}$-4$\sqrt{n-1}$，
∴y₁+y₂+y₃+…+y_n=4+4$\sqrt{2}$-4+4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+…+4$\sqrt{n}$-4$\sqrt{n-1}$=4$\sqrt{n}$．
故答案為4$\sqrt{n}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，找出點P的橫坐標與縱坐標的關系是解答此題的關鍵．