Question

把兩個三角形按如圖1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6，DC=7．把△DCE繞C點順時針旋轉(zhuǎn)15°，得到△D₁CE₁，如圖2，這時AB與CD₁相交于點O，與D₁E₁相交于點F．
（1）求∠ACD₁的度數(shù)；
（2）求AD₁的長；
（3）如果把△D₁CE₁繞C點再順時針旋轉(zhuǎn)30°，這時點B在△D₁CE₁的內(nèi)部、外部、還是在邊D₁E₁上？利用圖3，畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE繞C點順時針旋轉(zhuǎn)15°，
∴∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠ACD₁=30°+15°=45°；

（2）如圖2所示，連接AD₁，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=AB=×6=3（cm），
又∵CD₁=7（cm），
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD₁O中，AD1===5（cm）；

（3）點B在△D₁CE₁內(nèi)部，
理由如下：如圖3，設(shè)BC（或延長線）交D₁E₁于點P
則∠PCE₁=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE₁=cm，
∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×=3（cm），
在Rt△PCE₁中，CP=CE₁=（cm），
∵CB=3＜，即CB＜CP，
∴點B在△D₁CE₁內(nèi)部．
分析：（1）利用已知得出∠ACD=30°，進而求出∠ACD₁=30°+15°=45°；
（2）根據(jù)OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度數(shù)，進而得出∠4=90°，在Rt△AD₁O中根據(jù)勾股定理就可以求得AD₁的長；
（3）設(shè)BC（或延長線）交D₁E₁于點P，Rt△PCE₁是等腰直角三角形，就可以求出CB的長，判斷B在△D₁CE₁內(nèi)．
點評：本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，正確認識旋轉(zhuǎn)角，理解旋轉(zhuǎn)的概念是解題的關(guān)鍵．