Question

如圖所示，已知與相交于B、C，AB是的直徑，AB、AC的延長線分別交于D、E，過B點作的切線交AE于F．

求證：BF∥DE．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：連接BC． ∵AB是的直徑， ∴∠ACB＝90°， 又四邊形BCED是的內接四邊形， ∴∠BDE＋∠BCE=180° ∵∠BCA＋∠BCE=180° ∴∠BDE=∠ACB=90°， ∵BF是過點B的的切線， ∴∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠D， ∴BF∥DE．

提示：

欲證BF∥DE，根據平行線的判定，需要利用同位角、內錯角、同旁內角，圖形中可直接看到同位角，如果能證明∠D=∠ABF，則結論可得，但因這兩個角分別在兩個圓里，沒有相應的定理予以保證，所以怎樣把兩個圓的角轉化到一個圓中，或找個“中介”轉換一下，成為解決問題的關鍵點．此時，連接公共弦，利用“圓內接四邊形的外角等于內對角”，即可得結論． 當遇到兩個相交圓時，如果需要溝通角的關系時，往往需要連接輔助線——公共弦．