Question

已知：在△ABC中AB=AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，∠BAE=∠BDF，點M在線段DF上，
∠ABE=∠DBM．
（1）如圖1，當∠ABC=45°時，求證：AE=MD；
（2）如圖2，當∠ABC=60°時，則線段AE、MD之間的數(shù)量關系為______；
（3）在（2）的條件下延長BM到P，使MP=BM，連接CP，若AB=7，AE=，求tan∠PCB和tan∠ACP的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可證得△ABE∽△DBM，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可得AE=MD；
（2）由∠ABC=60°，即可求得MD=AE，繼而可得AE=2MD；
（3）首先連接AD，EP，根據(jù)題意易證得△ABC是等邊三角形，△ABE∽△DBM，繼而可證得△BEP為等邊三角形，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理即可求得BE的長，然后利用三角函數(shù)的性質，即可求得tan∠PCB和tan∠ACP的值．
解答：解：（1）證明：如圖1，連接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，
即AB=BD．…（1分）
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（2分）
∴，
∴AE=MD．…（3分）

（2）∵cos∠ABC=cos60°=，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•，…（4分）
∴AE=2MD；…（5分）

（3）如圖2，連接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．…（6分）
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（7分）
∴，∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，…（8分）
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°
∴∠AEB=90°
在Rt△AEB中，AE=，AB=7，
∴BE==．
∴tan∠EAB=．…（9分）
∵D為BC中點，M為BP中點，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=．…（10分）
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=，
∴NA=AD-ND=．…（11分）
過N作NH⊥AC，垂足為H．
在Rt△ANH中，NH=AN=，AH=AN•cos∠NAH=，
∴CH=AC-AH=，
∴tan∠ACP=．…（12分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握轉化思想與數(shù)形結合思想的應用．