Question

如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．
①求證：△ADE∽△BCE；
②如果AD²=AE•AC，求證：CD=CB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：①根據(jù)圓周角定理求出∠A=∠B，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
②證△ADE∽△ACD，推出∠AED=∠ADC=90°，根據(jù)垂徑定理推出即可．

解答：證明：①∵弧CD=弧CD，
∴∠A=∠B，
 又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；

②∵AD²=AE•AC，
∴

AE

AD

=

AD

AC

，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
即有∠AED=90°，
∴直徑AC⊥BD，
∴CD=CB．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力，題目比較好，難度適中．