Question

12．max{a，b，c…}表示一列數(shù)中最大的數(shù)，如：max{-1，2}=2，max{4，-3，a}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥4}\\{4，a＜4}\end{array}\right.$，給出下列結論：①max{tan60°，cos45°}=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；②若max{2x-5，3，7-4x}=3，則x的取值范圍是1≤x≤4；③若max{a，b，c}=$\frac{a+b+c}{3}$，則a=b=c；④若max{2x-y+2，-x+2y，-x-y+1}=1，則x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．其中正確的結論有②③④（填上所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析 ①只需比較tan60°與cos45°大小就可解決問題；
②由max{2x-5，3，7-4x}=3可得2x-5≤3且7-4x≤3，由此即可得到x的取值范圍；
③不妨設a≤b≤c，由題可得c=$\frac{a+b+c}{3}$，則有a+b=2c，由a≤b≤c可得a+b≤2c，當且僅當a=b=c成立；
④可分三種情況（①2x-y+2最大，②-x+2y最大，③-x-y+1最大）討論，即可解決問題．

解答 解：①∵tan60°=$\sqrt{3}$，cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴max{tan60°，cos45°}=$\sqrt{3}$，故①錯誤；
②∵max{2x-5，3，7-4x}=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-5≤3}\\{7-4x≤3}\end{array}\right.$，
解得：1≤x≤4，故②正確；
③不妨設a≤b≤c，
∵max{a，b，c}=$\frac{a+b+c}{3}$，
∴c=$\frac{a+b+c}{3}$，
∴a+b=2c．
∵a≤b≤c，
∴a≤c，b≤c，
∴a+b≤2c，
當且僅當a=c且b=c時，a+b=2c，故③正確；
④當2x-y+2最大時，
∵max{2x-y+2，-x+2y，-x-y+1}=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=1}\\{2x-y+2≥-x+2y}\\{2x-y+2≥-x-y+1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{3x-3y+2≥0}\\{x≥-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
把y=2x+1代入3x-3y+2≥0，得x≤-$\frac{1}{3}$．
又∵x≥-$\frac{1}{3}$，
∴x=-$\frac{1}{3}$，
∴y=2×（-$\frac{1}{3}$）+1=$\frac{1}{3}$．
同理：當-x+2y最大時，x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$；
當-x-y+1最大時，x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
故④正確．
故答案為②③④．

點評 本題屬于新定義型，主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、解一元一次不等式組、不等式的性質等知識，運用不等式的性質是解決第③小題的關鍵，運用分類討論的思想是解決第④小題的關鍵．