Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑AC=4，∠BCD=120°，BD與AC的交點(diǎn)為E．
（1）求∠BOD的度數(shù)及點(diǎn)O到BD的距離；
（2）若DE=2BE，求證：DO⊥AC．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BAD=180°-∠BCD=60°，則根據(jù)圓周角定理可得∠BOD=2∠BAD=120°，作OM⊥BD，如圖，∠ODB=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系易得OM=

1

2

OD=1，即點(diǎn)O到BD的距離為1；
（2）在Rt△DOM中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DM=

3

OM=

3

，而工行垂徑定理得到BM=DM=2

3

，利用DE=2BE，可計(jì)算出DE=

2

3

BD=

4 3

3

，
則ME=DE-DM=

3

3

，在Rt△OEM中，計(jì)算tan∠MOE可得∠MOE=30°，易得∠DOE=90°，于是可證明DO⊥AC．

解答：解：（1）∵∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
作OM⊥BD，如圖，
∵OB=OD，
∴∠ODB=30°，
∵AC=4，
∴OD=2，
∴OM=

1

2

OD=1，
即點(diǎn)O到BD的距離為1；
（2）在Rt△DOM中，OM=1，
∴DM=

3

OM=

3

，
∵OM⊥BD，
∴BM=DM=2

3

，
∵DE=2BE，
∴DE=

2

3

BD=

4 3

3

，
∴ME=DE-DM=

3

3

，
在Rt△OEM中，∵tan∠MOE=

ME

OM

=

3

3

，
∴∠MOE=30°，
而∠DOM=60°，
∴∠DOE=90°，
∴DO⊥AC．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理，記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．