Question

已知拋物線y=a(x-t-1)²+t²（a、t是常數(shù)，a¹0，t¹0）的頂點(diǎn)A，拋物線y=x²-2x+1的頂點(diǎn)是B。

（1）判斷點(diǎn)A是否在拋物線y=x²-2x+1上，并說(shuō)明理由；

（2）如果拋物線y=a(x-t-1)²+t²經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則這條拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)A能否構(gòu)成直角三角形，若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+1上，理由：因?yàn)閽佄锞�y=a(x-t-1)2+t2的頂點(diǎn)為A(t+1，t2)，而當(dāng)x=t+1時(shí)，y=x2-2x+1=(x-1)2=(t+1-1)2=t2，所以點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+1上 （2）拋物線y=x2-2x+1的頂點(diǎn)為B(1，0)，因?yàn)閽佄锞�y=a(x-t-1)2+t2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1，0)，所以a(1-t-1)2+t2=0，所以t2(a+1)=0，∵ t¹0，∴ a+1=0，a=-1，拋物線y=a(x-t-1)2+t2和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)A能構(gòu)成直角三角形，此拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為C，令y=0，得-(x-t-1)2+t2=0。解得x1=1，x2=2t+1，所以點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(1，0)、(2t+1，0)。由拋物線的對(duì)稱性可知，DABC為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)A作AD^x軸，垂足為D，則AD=BD，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí)，t2=1-(t+1)，解得t=-1或t=0（舍去 ）， J當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，t2=(t+1)-1，解得t=1或t=0（舍去），所以當(dāng)t=±1時(shí)，拋物線y=-(x-t-1)2+t2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)能與頂點(diǎn)A能構(gòu)成直角三角形。