Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線(xiàn)CF交AB于點(diǎn)F，∠ADC的平分線(xiàn)DG交邊AB于點(diǎn)G．

（1）求證：AF=GB；

（2）請(qǐng)你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）EF=EG或者∠EFG=∠EGF

【解析】

試題分析：（1）由角平分線(xiàn)知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，則有AF=GB；

（2）由于DG、CF是平行四邊形一組鄰角的平分線(xiàn)，所以△EFG已經(jīng)是直角三角形了，要成為等腰直角三角形，則必須有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．

（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC．

∴∠AGD=∠CDG，∠DCF=∠BFC．

∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠CDG=∠ADG，∠DCF=∠BCF．

∴∠ADG=∠AGD，∠BFC=∠BCF

∴AD=AG，BF=BC．

∴AF=BG；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠EDC+∠ECD=90°．

∴∠DEC=90°．

∴∠FEG=90°．

因此我們只要保證添加的條件使得EF=EG就可以了．

我們可以添加∠GFE=∠FGD，四邊形ABCD為矩形，DG=CF等等．

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)極為重要的知識(shí)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系極為容易，因而是中考的熱點(diǎn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，一般難度不大，需特別注意.