Question

如圖，有一塊形狀為△ABC的鐵板余料，它的邊BC=150mm，高AD=75mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一邊QM在BC邊上，其余兩個頂點P、N分別在AB、AC邊上，設(shè)矩形PQMN的一邊PN=xmm，面積為S mm²．
（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）矩形PQMN的兩條邊長分別為何值時，它的面積有最大值，最大值是多少？
（3）當(dāng)S=2500mm²時，求矩形PQMN的兩條邊的長度．

Answer 1

考點：相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的對邊平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可以得出S與x的關(guān)系．
（2）根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值．
（3）代入s=2500得到有關(guān)x的一元二次方程即可求得兩邊的長度．

解答：解：（1）∵四邊形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴PN∥BC，AD⊥PN于點E．
∴ED=PQ，AE=AD-ED=75-PQ．
∴△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

150

=

75-PQ

75

，
∴PQ=75-

1

2

x．
∴S=PQ•PN=(75-

1

2

x)x，
即S=-

1

2

x2+75x．

（2）∵S=-

1

2

x2+75x=-

1

2

(x-75)2+2812.5，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng) x=75時，S有最大值，S_最大值=2812.5，
此時PQ=75-

1

2

×75=37.5．
答：矩形PQMN的兩條邊長分別75mm和37.5mm時，它的面積有最大值，最大值是2812.5mm²．

（3）當(dāng)S=2500 mm²時，有-

1

2

(x-75)2+2812.5=2500．
∴（x-75）²=625，即x-75=±25，
解得x₁=50，x₂=100． …（11分）
∴當(dāng) x=50時，PQ=50-

1

2

×50=25；
當(dāng) x=100時，PQ=100-

1

2

×100=50．
答：當(dāng)S=2500 mm²時，矩形PQMN的兩條邊長分別50mm和25mm或100mm和50mm． …（12分）

點評：本題考查的是相似三角形的判定與相似，利用矩形的面積公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定x的取值和面積的最大值是解題關(guān)鍵．