Question

如圖，已知?ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．
（1）試說(shuō)明DE=BC；
（2）試問(wèn)AB與DG+FC之間有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB∥DC．
∴∠BAE=∠DEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠DEA=∠DAE．
∴AD=DE．
∴DE=BC．

（2）AB=DG+FC
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射線DA方向平移，平移距離為AD，則DC與AB重合，記平移后的三角形為△ABH，則∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，∴F，B，H三點(diǎn)共線，
∴BF+HB=BF+FC，從而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四邊形AHFD為正方形．
∴∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，∴I，H，B三點(diǎn)共線．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+FC，∴AB=DG+FC．
分析：（1）AE平分∠BAD，則∠BAE=∠DAE；AB∥CD，則∠BAE=∠DEA，從而有∠DAE=∠DEA，所以，DE=DA，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，證明DE=BC；
（2）結(jié)論：AB=DG+FC；將△CDF平移到△ABH的位置，將△ADG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AHI的位置，證明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判斷，用平移，旋轉(zhuǎn)的方法證明問(wèn)題的能力．