如左圖,拋物線y=x2的頂點(diǎn)為P,A、B是拋物線上兩點(diǎn),AB∥x軸,四邊形ABCD為矩形,CD邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,AB=2AD.

(1)求矩形ABCD的面積;
(2)如圖,若將拋物線“y=x2”,改為拋物線“y=x2+bx+c”,其他條件不變,請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積;
(3)若將拋物線“y=x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”,其他條件不變,請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積(用a、b、c表示,并直接寫出答案).

解:(1)∵拋物線y=x2的頂點(diǎn)為P,
∴P(0,0);
設(shè)DP=AD=m,則AB=CD=2m;
∴D(-m,0),A(-m,m),
由于點(diǎn)A在拋物線的圖象上,則:
(-m)2=m,
解得m=0(舍去),m=1,
∴矩形ABCD的面積為:AB•AD=2m2=2.

(2)矩形的面積不變,仍為2,理由如下:
易知P(-,),
設(shè)DP=AD=m,同(1)可得A(--m,+m),
代入拋物線的解析式中,得:
(--m)2+b(--m)+c=+m,
整理得:m2=m,
解得m=0(舍去),m=1;
故矩形ABCD的面積為:AB•AD=2m2=2.

(3)矩形的面積為,理由如下:
設(shè)DP=AD=m,同(1)(2)可得:A(--m,+m);
代入拋物線的解析式中,得:
a(--m)2+b(--m)+c=+m,
整理得:am2=m,
解得m=0(舍去),m=;
故矩形ABCD的面積為:AB•AD=2m2=
分析:(1)根據(jù)拋物線的特點(diǎn)知P(0,0),可設(shè)OD=AD=m,根據(jù)AB=2AD,可分別表示出D、A的坐標(biāo),由于A在拋物線上,將其坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,可求得m的值,進(jìn)而可得到矩形的面積.
(2)參照(1)的思路,首先表示出P點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)DP=AD=m,然后表示出A點(diǎn)的坐標(biāo),再將其代入拋物線的解析式中,求得m的值,進(jìn)而可求出矩形ABCD的面積.
(3)方法同(2).
點(diǎn)評(píng):解決此題的關(guān)鍵,是能夠理解拋物線和矩形的對(duì)稱性,把握好“AB=2AD”這個(gè)條件,難度適中.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如左圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC,tan∠ACO=
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(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線,與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長(zhǎng)度.
(4)如圖,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△APG的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.
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(1)求矩形ABCD的面積;
(2)如圖,若將拋物線“y=x2”,改為拋物線“y=x2+bx+c”,其他條件不變,請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積;
(3)若將拋物線“y=x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”,其他條件不變,請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積(用a、b、c表示,并直接寫出答案).

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