Question

18．如圖，矩形ABCD的頂點AB在x軸上，點D的坐標(biāo)為（6，8），點E在邊BC上，△CDE沿DE翻折后點C恰好落在x軸上點F處，若△ODF為等腰三角形，點E的坐標(biāo)為（16，3）或（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）或（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．

Answer 1

分析 先依據(jù)勾股定理求得OD=10，①當(dāng)OD=DF時，由勾股定理可求得AF=6，故此可求得OF=12，由翻折的性質(zhì)可知DC=10，從而得到點E的橫坐標(biāo)為16，F(xiàn)B=4，最后在Rt△EFB中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；②當(dāng)OD=OF時．先求得AF=4，由勾股定理可求得DF=4$\sqrt{5}$，從而得到點E的橫坐標(biāo)為6+4$\sqrt{5}$，F(xiàn)B=4$\sqrt{5}$-4，最后在Rt△EFB中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；③當(dāng)OF=DF時，設(shè)點F的坐標(biāo)為（b，0），依據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于b的方程可求得b=$\frac{25}{3}$．即OF=$\frac{25}{3}$，從而得到AF=$\frac{7}{3}$，依據(jù)勾股定理可求得DF=$\frac{25}{3}$，從而得到點E的橫坐標(biāo)為$\frac{43}{3}$，BF=6，最后在Rt△EFB中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解答 解：∵點D的坐標(biāo)為（6，8），
∴OD=10．
①當(dāng)OD=DF=10時．
∵DF=10，AD=8，
∴AF=6．
∴OF=12．
由翻折的性質(zhì)可知：DC=DF=10，F(xiàn)E=CE，
∴點E的橫坐標(biāo)為16．
∴FB=4．
設(shè)點E的縱坐標(biāo)為a，則FE=8-a．
在Rt△EFB中，F(xiàn)B²+BE²=FE²，即4²+a²=（8-a）²，解得a=3．
∴點E的坐標(biāo)為（16，3）．
②當(dāng)OD=OF時．
∵OF=10，0A=6，
∴AF=4．
∵在Rt△DAF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∴點E的橫坐標(biāo)為6+4$\sqrt{5}$．
∴FB=4$\sqrt{5}$-4．
設(shè)點E的縱坐標(biāo)為a，則FE=8-a．
在Rt△EFB中，F(xiàn)B²+BE²=FE²，即（4$\sqrt{5}$-4^）2+a²=（8-a）²，解得a=2$\sqrt{5}$-2．
∴點E的坐標(biāo)為（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）．
③當(dāng)OF=DF時，設(shè)點F的坐標(biāo)為（b，0），則8²+（b-6）²=b²．解得：b=$\frac{25}{3}$．即OF=$\frac{25}{3}$．
∵OA=6，OF=$\frac{25}{3}$，
∴AF=$\frac{7}{3}$．
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
由翻折的性質(zhì)可知：DC=DF，則點E的橫坐標(biāo)為$\frac{25}{3}$+6=$\frac{43}{3}$．
在Rt△EFB中，F(xiàn)B²+BE²=FE²，即（$\frac{43}{3}$-$\frac{25}{3}$）²+a²=（8-a）²，解得a=$\frac{7}{4}$．
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．
綜上所述，點E的坐標(biāo)為（16，3）或（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）或（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．
故答案為：（16，3）或（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）或（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．

點評 本題主要考查的是翻折變換，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．