Question

如圖，已知線段AB長為6，點A在x軸負半軸，B在y軸正半軸，繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°，B點恰好落在x軸上D點處，點C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形．
（1）求點C、點D的坐標；
（2）若半徑為1的⊙P從點A出發(fā)，沿A-B-D-C以每秒4個單位長的速度勻速移動，同時⊙P的半徑以每秒0.5個單位長的速度增加，運動到點C時運動停止，當運動時間為t秒時，
①t為何值時，⊙P與y軸相切？
②在運動過程中，是否存在一個時刻，⊙P與四邊形ABCD四邊都相切？若存在，說出理由；若不存在，問題中⊙P的半徑以每秒0.5個單位長速度增加改為多少時就存在；
（3）若線段AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周，線段AB掃過的面積是多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求出OB的長得出點C的坐標，求出AD的長即可求出點D的坐標，
（2）①分兩種情況討論：當P在AB上時，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=3-2t，當P在BD上時，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=2t-3，再求解即可，
②設(shè)⊙P的半徑以acm/s的速度增加，當點P在菱形ABCD的對角線交點時，與四邊形ABCD都相切，⊙P的半徑1+

9

4

a，再求出BD和AC的交點坐標，最后根據(jù)若⊙P與四邊形ABCD相切，則1+

9

4

a=1.5

3

，即可得出答案，
（3）過O作OE⊥AB，根據(jù)△BOA∽△OEA，求出OE，從而求出S=（3

3

）²π-（1.5

3

）²π，再計算即可．

解答：解（1）∵OB=

62-32

=6

3

，
∴點C的坐標是（6，3

3

），
∵AD=AB=6，
∴點D的坐標是（3，0），

（2）①當P在AB上時，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=3-2t，
t=

4

5

，
當P在BD上時，若⊙P與y軸相切，則1+0.5t=2t-3，
t=

8

3

，
②不存在
設(shè)⊙P的半徑以acm/s的速度增加，
當點P在菱形ABCD的對角線交點時，到ABCD的距離相等，即與四邊形ABCD都相切，
此時t=

9

4

，⊙P的半徑1+

9

4

a，
設(shè)BD的解析式為：y=kx+b，AC的解析式為：y=ax+c，
解得：BD的解析式為：y=-

3

x+3

3

，AC的解析式為：y=

3

3

x+

3

，
-

3

x+3

3

=

3

3

x+

3

，
解得；x=

3

2

，
則y=1.5

3

，
若⊙P與四邊形ABCD相切，
則1+

9

4

a=1.5

3

，
解得：a=

6 3 -4

9

，
則⊙P的半徑以

6 3 -4

9

cm/s的速度運動時就存在，

（3）過O作OE⊥AB，
則△BOA∽△OEA，

BO

OE

=

BA

OA

，
解得；OE=1.5

3

，
S=（3

3

）²π-（1.5

3

）²π=

81

4

π，
則線段AB掃過的面積是

81

4

π．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是菱形的性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分類討論．